随着深度学习和神经网络技术的持续发展, 生成式方法在机器学习领域取得了重要突破, 并在多个应用场景中展现出巨大的潜力。本文构建了人工智能生成式方法的统一数学框架, 并系统介绍了其核心技术, 包括变分自编码器(VAE)、生成对抗网络(GAN)、扩散模型和流模型, 同时深入分析了不同方法在各类任务中的优势与局限。进一步地, 本文探讨了人工智能中的生成式方法在数学、物理、生命科学、医学、计算机科学与工程等领域的应用前景。最后, 本文总结了当前人工智能中的生成式方法所面临的关键挑战, 并重点探讨了其在数学与智能优化研究中的未来发展方向。本文期望为相关领域的研究人员和从业者提供有价值的参考与启示。
张量分解的唯一性是多个应用问题中张量低秩分解和张量低秩逼近优化问题建模的关键基础, 是进行系统参数识别的强有力理论。本文简要归纳唯一分解理论的基本概念、Kruskal定理等经典结论、唯一性成立的必要条件、Jennrich-Harshman理论及其延伸、分解的部分唯一性理论、块分解唯一性以及统计意义下唯一性等。通过对这些基本性质的了解, 为相应张量低秩分解和张量低秩逼近优化模型的建模、分析、求解和验证等理论和方法的进一步研究提供理论基础。
服务系统管理的一个重要问题是如何减少顾客的等待时间。通过提前预约以降低顾客到达(需求)的不确定性是减少顾客等待时间的重要方法。为此, 自1950年代始学术界和工业界即开始了预约调度优化的研究工作, 特别是在医疗服务系统的预约调度研究中, 出现了许多预约调度的有效模型及优化算法。本文首先系统描述了服务系统中的预约调度问题及其特征, 并提出了一个预约调度问题的分类框架; 其次, 对上述框架下的各类预约调度研究的主要成果进行了系统的梳理和评述; 最后, 对目前重要的预约调度问题及未来的研究方向做了讨论。
本文综述了排队库存系统(queueing-inventory system, QIS)的理论研究与应用进展, 涵盖其数学建模、稳态分析方法及在多领域的实际应用。排队库存系统基于排队论与库存管理, 研究始于1992年Sigman和Simichi-Levi以及Melikov和Molchanov的工作, 2006年Schwarz等明确定义了其框架。本文回顾了三种主要分析方法: 乘积形式解、矩阵几何解和近似乘积形式解。乘积形式解通过分解队列长度与库存水平的联合分布, 适用于M/M/$\cdot$模型等场景; 矩阵几何解基于准生灭过程, 利用率矩阵(R)求解稳态分布, 从解析解扩展至数值算法; 近似乘积形式解则通过状态空间分解处理复杂系统。此外, 本文探讨了博弈论在QIS中的应用, 如Stackelberg博弈分析顾客策略行为与最优库存控制。在应用层面, 研究覆盖食品制造(3D打印)、医疗服务(疫情废物管理)、血液供应链及运输系统, 创新模型如流体库存、批量马尔可夫到达过程等显著提升了系统效率与资源优化。综上, QIS研究在理论深度与应用广度上均取得重要进展, 为库存管理与服务优化提供了坚实支持。
斯塔克尔伯格预测博弈是一种双层优化框架, 旨在建模学习者与追随者之间的交互。现有方法在处理具有一般损失函数的问题时, 计算代价高昂且方法较少。为了解决这一挑战, 我们提出了一种结合热启动策略的全新的基于超梯度的方法。具体而言, 我们首先采用基于泰勒展开的方法来获取一个良好的初始点, 然后利用具有显式近似超梯度的超梯度下降方法对问题进行求解。我们从理论上证明了该算法的收敛性。此外, 当追随者采用最小二乘损失函数时, 我们的方法仅通过求解二次子问题即可达到$\varepsilon$-稳定点。数值实验表明, 与当前最先进的方法相比, 我们的算法在时间上快了若干个数量级。
图$G=(V (G), E (G))$上的一个处处非零$k$-流是指如下定义的一个对$(D, f)$, 其中$D$是边集$E (G)$上的一个定向, $f\colon E (G)\to\{\pm1, \pm2, \cdots, \pm (k-1)\}$是边集上的函数, 且满足每个顶点的总流出与总流入相等。这一概念由Tutte引入, 作为面着色的扩展。Tutte在1954年提出了著名的5-流猜想: 每个无桥图都存在处处非零的5-流。尽管该猜想已在一些图类中得到验证, 但至今仍未完全解决。本文证明了每个欧拉亏格至多为20的无桥图都存在一个处处非零的5-流, 从而改进了若干已知结果。
风险管理在不确定性环境决策中常常起着重要作用。在量化风险管理中,评估和优化风险指标需要高效的计算技术和可靠的理论保证。本文介绍量化风险管理的几个主题,并回顾关于这些主题的一些研究和进展。我们考虑几个风险指标并研究涉及这些指标的决策模型,主要关注相关的计算技术和理论性质。我们说明随机优化作为一种强大的工具,可以用来有效处理这些问题。
本文引入实成对完全正(RPCP)矩阵, 其中一个矩阵必为半正定的, 另一个矩阵必非负, 且该矩阵对具有实成对完全正(RPCP)分解。研究了RPCP矩阵的性质, 给出了矩阵对为RPCP的一些充分和必要条件。首先, 我们给出RPCP矩阵的另一个等价分解。证明了矩阵对(X, X)是RPCP当且仅当X为完全正矩阵。此外, 还证明了RPCP矩阵判定问题等价于可分补全问题。同时, 对于RPCP矩阵判定和分解问题, 提出了一种半定松弛算法。讨论了算法的渐进收敛性和有限收敛性。若矩阵对是RPCP, 算法可进一步给出其一个RPCP分解; 若不是, 算法也能够给出一个判定依据。
数字经济时代, 随着云计算与人工智能行业的飞速发展, 算力作为重要战略资源, 价值日益凸显, 算力应用所产生的能耗和碳排放量也在急剧攀升。在此背景下, 绿色计算的发展已成为行业共识和时代需求, 算力资源的调度优化也成为节能减排、降本增效的重要手段。本文重点研究了绿色计算应用场景中的4类具体的算力调度优化问题: 计算任务错峰调度、容器负载均衡、集群自动扩缩容、服务混合均匀部署, 给出了这几类调度优化问题对应的数学模型和优化算法, 并进一步介绍了工业场景下的智能算力调度系统和落地挑战。这套算力调度系统已经服务于蚂蚁集团大数据计算、数据库等多个应用场景, 为企业节能减排带来了显著收益。最后, 本文展望了算力调度在AI大模型时代下的挑战。
我们考察组合优化中的若干基础问题, 包括背包问题、子集和问题以及卷积问题。我们希望探索这些问题运行时间最优的算法, 即在某些广为接受的复杂性假设下该算法的运行时间应当是(几乎) 最优的。最近几年, 利用加性组合对经典组合优化问题的算法研究取得了重要的进展, 特别地, 对背包与子集和问题的若干变种, 研究者们得到了运行时间与复杂性下界几乎一致的伪多项式时间算法和多项式时间近似方案。本文将选择其中具有代表性的若干成果展开综述, 旨在展示目前已经被研究者们所注意到的加性组合定理与离散优化问题间的联系。特别地, 我们将探讨: (ⅰ) 有限加和定理及其在背包问题与子集和问题中的应用; (ⅱ) Szemerédi-Vu和集定理及其在子集和问题中的应用; (ⅲ) Balog-Szemerédi-Gowers定理及其在有解单调卷积问题中的应用。
社会偏好理论泛化主流经济学的私人效用最大化设定, 假设决策者还额外考虑其行为对他人境况的影响。基本模型中, 决策目标函数为私人与他人效用的加权平均值。《仁本博弈论》采用此设定, 将儒学中的“仁爱”对应为他人效用在决策者目标函数中所占权重, 在超模博弈框架中证明: 仁爱偏好(仁心) 提升利他行为(德行), 从而增益社会福利(义功)。此《仁本博弈论》可视作是针对孔子仁义之道思想的一种模型化尝试。本文系统地梳理了相关的行为博弈第九届中国运筹学会科学技术奖获奖者专辑献, 并与仁本论进行比较。我们发现, 尽管前人已尝试在一般博弈情境下为社会偏好建模, 但均衡分析和结论多数局限在具体博弈情境中, 包括公共物品博弈、囚徒困境和独裁者博弈等等。因此, 已有文献中虽有大量类似“仁生德义”的结论, 但都是情境依赖的。仁本论在一定程度上统一了散落于各情境中的结论。
本文研究了朗道自由能泛函极小化问题的数值方法和理论分析, 该问题广泛应用于物理学和材料科学中相变和有序结构的形成。朗道自由能泛函通常由描述空间相互作用的高阶微分项及描述体积能的非线性项组成, 这一特点导致计算面临两大困难: 高阶微分算子带来的刚性问题以及非线性项中梯度全局利普希茨连续性的缺失。针对这些难点, 研究首先将泛函极小化问题离散为有限维最优化问题, 基于Bregman散度设计了高效的算法框架, 并建立了收敛性分析。进一步地, 我们将算法推广至函数空间, 系统分析了其对原始泛函极小化问题的收敛性质。此外, 本文探讨了Bregman迭代与梯度流方法的内在联系, 为理解优化算法的动力学机制提供了新视角。所提出算法的有效性及理论分析的准确性均通过一系列数值实验得到了验证。
