具有线性约束的凸优化问题是数学规划中的一类经典问题。本文将借助对偶理论, 研究求解一类具有线性等式约束的凸优化问题的加速算法。由于此类问题的对偶问题是一个具有两块可分离结构的凸优化问题, 我们基于Goldstein等人在加速交替方向乘子法方面的重要工作, 提出了一种在弱化条件下求解线性等式约束凸优化问题的加速方法。我们的方法与Goldstein等人的加速交替方向乘子法的不同之处为：1) 目标函数仅要求具有凸性(而不必强凸)；2) 罚参数仅要求$\beta>0$(而不受目标函数的利普希茨常数、强单调系数的限制)。基于上述弱化的条件, 我们证明了所提的加速交替方向乘子法依然具有收敛性和O(1/k2)的收敛率。我们将条件弱化后的加速交替方向乘子法用于求解一个图像重建问题。数值实验结果表明, 条件弱化后的加速交替方向乘子法依然具有较好的数值效果。
本文提出了一种镜像梯度下降梯度上升算法来求解单边相对光滑的非凸-凹极小极大问题。在算法的每次迭代中, 我们采用镜像梯度下降步来更新相对光滑的变量, 采用梯度上升投影步来更新目标函数中光滑的变量。本文在理论上证明了算法收敛到$\varepsilon$-近似一阶稳定点的迭代复杂度是$\mathcal{O}\left( \varepsilon^{-4} \right)$。
基于工厂订单装配系统的运行机制, 本文构建并分析了具有N策略和两种混合休假策略的M/M/1排队系统驱动的流体模型。首先对驱动系统进行描述, 将马尔可夫过程的无穷小生成元写成块状雅克比矩阵形式。引入库存量建立三维马尔可夫过程, 得到稳态下流体排队满足的微分方程组, 运用矩阵分析方法和Laplace变换(LT) 方法得出系统平稳库存量的数学表达式。进而运用Laplace-Stieltjes变换(LST) 导出稳态条件下缓冲器的平均库存量。最后, 利用数值分析, 给出参数变化对系统性能指标的影响。
本文研究了$\left({s, S}\right)$ 库存策略的多服务台排队库存系统, 其中库存为空时有部分服务台同步多重休假, 休假时间服从指数分布。顾客到达为泊松过程, 每个服务台的服务时间和补货时间均服从指数分布。利用拟生灭过程和矩阵几何解法, 计算了系统稳态概率和一些性能指标, 并给出了系统单位时间的平均费用函数。最后, 通过数值算例分析了参数对费用函数的影响, 并得到最优库存策略和最优平均费用。
突发公共卫生事件中地方政府、社会组织与公众的相互配合、协同响应是及时高效进行应急管理的必然选择。本文以新型冠状病毒肺炎为背景, 考虑应急响应过程中多主体之间的相互影响与博弈关系, 基于有限理性假设, 构建地方政府、社会组织与公众三方博弈主体的演化博弈动态模型。然后, 运用演化博弈理论和Lyapunov判别法分析三方主体演化模型的均衡点和渐进稳定性, 得到在不同条件下三方主体的演化稳定策略。最后, 对突发公共卫生事件不同阶段的三方主体应急响应的博弈行为进行仿真分析, 探讨地方政府的补贴政策、奖惩措施以及社会组织成本对博弈各方策略选择的影响。研究结果表明: (1) 在突发公共卫生事件应急响应的不同阶段, 各主体的决策选择是动态演变的; (2) 地方政府的补贴政策、奖惩措施以及社会组织成本对于主体的应急响应行为作用明显; (3) 各主体的初始参与意愿强弱对突发公共卫生事件应急响应的影响效果显著。
本文研究随机变量分布不确定下的风险-回报优化模型。针对传统的风险-回报三类典型问题和分布不确定性背景, 提出了更一般性条件下的分布鲁棒风险-回报优化新模型; 基于矩不确定集合和优化对偶理论, 化简复杂的新优化模型为常规结构的非线性优化问题。理论上证明了分布鲁棒风险-回报三类优化模型效率前沿的等价性。数值实验验证了理论分析的有效性。
针对带隐藏约束的昂贵黑箱全局优化问题, 提出采用自适应转换搜索策略的代理优化方法。在转换搜索子步中采用与已估值点个数相关的标准差在当前最优点附近通过随机扰动生成候选点, 以更好地平衡局部搜索和全局搜索。为更好地近似真实黑箱目标函数, 采用了自适应组合目标代理模型。在50个测试问题上进行了数值实验, 计算结果说明了所提算法的有效性。
天然气管网稳态运行优化问题在提升能源使用效率、降低运行成本等多方面发挥着重要的作用。该问题由于网络结构复杂、规模大、非线性程度高, 所以建模成的混合整数非线性规划模型求解难度非常大。本文基于混合整数线性规划的界增强方法, 提出了适用于该问题结构的非线性界增强方法, 能够缩紧变量的上下界, 使得在线性化方法中更好地逼近原混合整数非线性规划模型。数值结果显示新的方法能够得到更优的可行解, 并且加快了天然气管网稳态运行优化问题的求解。
如果一个图G不包含2K2, C3及C5作为导出子图, 称其为链图。在所有点数和边数给定的连通二部图中, 链图具有最大的谱半径, 这使得链图在图谱理论中占有一席之地。本文研究了连通链图距离特征值的分布情况。对于点数为n的连通链图G=G(t1, …, th; s1, …, sh), 我们证明了-2是G的重数为n-2h的距离特征值, 且G有h-1个距离特征值小于-2和h+1个距离特征值大于-2。
设$G_\omega=(G, \omega)$是一个赋权图, 其邻接矩阵和赋权度对角矩阵分别$A(G_\omega)$和$D(G_\omega)$。对于$\alpha\in[0, 1]$, $G_\omega$的$A_\alpha$-矩阵为$ A_\alpha(G_\omega)=\alpha D(G_\omega)+(1-\alpha)A(G_\omega)$。对于连通赋权非正则图$G_\omega$, 给出了其关于$A_\alpha$-特征值的一些界, 并得到了$A_\alpha$-谱半径对应的特征向量中最大分量与最小分量比值的下界。
设图$G$是一个简单连通图, $e(G)$、$\mu(G)$和$q(G)$分别为图$G$的边数、谱半径和无符号拉普拉斯谱半径。如果一个图含有一条包含所有顶点的路, 则这条路为哈密尔顿路, 称这个图为可迹图。本文主要研究利用$e(G)$、$\mu(G)$和$q(G)$分别给出图$G$是可迹图的一些新充分条件, 所得结果推广了已有的结论。
对于图$G$, 令$E(G)$表示$G$的边集, 令$V(G)$表示$G$的点集, $d_G(v)$表示$v$的度。对于边$e=uv$, 定义广义和连通度指标$\chi_\alpha(e)=(d_G(u)+d_G(v))^\alpha$, 其中$\alpha$为任一实数。本文先介绍了图的$S, R, Q, T$四种运算, 然后给出了四种运算下的强乘积, 并利用最大度最小度确定了其四种图的广义和连通度指标的上下界。
设$G=(V, E)$ 是简单图, 子集$F\subseteq V$。若由点集$V-F$ 导出的子图不含圈, 则称子集$F$ 是图$G$ 的反馈集。称反馈集的点数的最小值是图$G$ 的反馈数, 用$f(G)$ 表示，即，$f(G)=\min\{|F| : F$ 是图$G$ 的反馈集$\}$。Caragiannis等人给出了二维四角网格图反馈数的上界, 本文改进了其上界。
